DESARROLLO Y DISCUSIÓN
Pensar matemáticamente
no es una corriente o un paradigma reciente, ello data desde los inicios de la
humanidad, ya que, a lo largo de la historia, el ser humano se ha visto
expuesto a una serie de problemas que han obligado al hombre a desarrollar
habilidades y capacidades que le permitan lidiar con problemas cotidianos cuya
solución ha dependido en mayor o menor medida de la toma de decisiones con base
en la aplicación de herramientas matemáticas. En ese sentido, considera al
“pensamiento matemático como una capacidad que permite interpretar información
en la vida diaria, tomar decisiones en función de esa interpretación, así como
hacer uso de otros tipos de pensamiento como el analítico y creativo” (Díaz y
Díaz, 2018, p.62).
En esta misma línea
Cantoral et al. (2011) afirma: “el pensamiento matemático incluye, por un lado,
pensamiento sobre tópicos matemáticos, y por otro, procesos avanzados del
pensamiento como abstracción, justificación, visualización, estimación o
razonamiento bajo hipótesis” (p. 23). Es decir, pensar matemáticamente involucra
desarrollar una serie de comportamientos rigurosamente organizados, producto de
una praxis y ejecución constante, los cuales constituyen fortalezas en la
resolución de problemas.
Según el Ministerio de
Educación Nacional (1998) de Colombia subdivide al pensamiento matemático en
cinco tipos: Pensamiento numérico y sistemas numéricos, pensamiento espacial y
sistemas geométricos; pensamiento métrico y los sistemas métricos o de medidas;
pensamiento aleatorio y los sistemas de datos y el pensamiento variacional y los sistemas algebraicos y analíticos.
Esta clasificación del
pensamiento matemático permite observar la riqueza y diversidad de situaciones
problemáticas que un docente debe dominar y resolver para la construcción del
conocimiento desarrollando el pensamiento matemático del estudiante. Por ello,
se considera a esta división como los cinco pilares de la formación docente en
ciencias
Los 5 pilares del
pensamiento matemático
Pilar matemático se entiende como la competencia que brinda
soporte teórico metodológico por medio de estrategias para el desarrollo del
pensamiento matemático, cada una de ellas presenta particularidades, pero a su
vez se relacionan y complementan.
El primer pilar. El pensamiento numérico
es indispensable para la formación del docente de ciencias, es uno de los
primeros en adquirirse desde una temprana edad, pero también una de las que más
se dificulta cuando no se tiene claro la operación adecuada o el sistema en el
que se está trabajando. En la formación del docente en ciencias es necesario
desarrollar estrategias que le permitan al futuro profesor manejar con
habilidad y creatividad las cantidades exactas o proporciones, ya sea para una
comprobación teórica o para una demostración en laboratorio. Por ejemplo, para
calcular la cantidad de sustancia para una reacción química, la aceleración que
debe tener un cuerpo para optimizar el tiempo en el caso de física o la tasa de
interés que el cliente de una entidad bancaria debe elegir para obtener la
mayor rentabilidad en el caso de matemática Díaz y Díaz (2018);
El segundo pilar. El pensamiento espacial
y geométrico, el cual ayuda al docente del área de ciencias a desarrollar su
sentido de orientación en el espacio, los movimientos inherentes a un cuerpo o
figura y las propiedades o transformaciones de los mismos. En Física es
aplicable a vectores resultantes, diagrama de cuerpo libre, movimiento
rectilíneo, circunferencial, óptica y otros. En la enseñanza de la química se
ve favorecido pues tendrá un mejor performance al dictar temas como:
configuración electrónica, átomos, hidrostática, gases, entre otros y aún en la
biología al estudiar las células y tejidos (Cabrera y Fernández, 2021).
El tercer pilar. El pensamiento métrico,
valioso aporte del pensamiento matemático en el desarrollo formativo del
docente en ciencias, ya que brinda la posibilidad de estimar cantidades muy
pequeñas y muy grandes, las cuales son útiles en la física, cuando se estudia
cifras significativas, en matemática usando instrumentos de medición de
longitud, peso, volumen o de estimación al desarrollar el tema de notación
científica. En química incluso es fundamental para la medición de sustancias y
compuestos como peso, volumen o temperatura; es uno de los pilares más relegados
ya que se requiere que los cálculos o mediciones se vean respaldados por
pruebas empíricas de laboratorio, recursos que lamentablemente no todas las
instituciones poseen (Valencia et al., 2018).
Figura 1. Pilares
del Pensamiento Matemático
El cuarto pilar. El pensamiento
aleatorio, uno de los que más se ha incrementado en cuanto al uso, ya que dota
al docente de ciencias de herramientas y técnicas de recolección, análisis y
tratamiento de datos de todo tipo, adicional a ello permite inferir resultados
mediante el muestreo y el cálculo de probabilidades. Esto permitirá que el
docente de matemática pueda explicar de manera más didáctica los procesos
estadísticos que realizan las encuestadoras y la ONPE. El docente de física
podrá desarrollar de forma más significativa su enseñanza sobre cinemática y
dinámica, ya que en algunos casos requiere analizar varios cuerpos o
movimientos para llegar a un resultado general (Cantoral et ál., 2020; Romero,
2020).
El quinto pilar. El pensamiento variacional y de sistemas algebraicos, permite desarrollar
la parte abstracta de la matemática y de las ciencias, ya que aquí se
interactúa no solo con cantidades objetivas sino también con subjetivas para lo
que se hace uso de las variables para establecer una relación entre ellas. Por
ello el docente debe fortalecer este pensamiento en su formación docente, ya
que al hacerlo podrá replicar dicho proceso en la adquisición del mismo por
parte de sus estudiantes. Se deduce, a partir de las revisiones, que sin una
buena formación algebraica los contenidos como ecuaciones, desigualdades,
funciones y programación lineal en matemática no serían factibles y por ende
los contenidos que van asociados a ellos. En física para todos los temas que
involucren variables o ecuaciones, como energía, trabajo y movimiento. En
química de igual manera para los cálculos químicos, de gases y de átomos.
Incluso en la biología para la enseñanza de división celular (Díaz y Diaz, 2018; Oliveira, et al., 2021).
Estas aristas son las
que constituyen los pilares del pensamiento matemático en la formación del
docente en ciencias y además permite explicar y comprender interrogantes cómo:
¿por qué algunos docentes tienen una mejor didáctica en la enseñanza de las
matemáticas y las ciencias que otros? ¿El desarrollar el pensamiento matemático
en los docentes de ciencias favorecen la práctica
docente en el aula? En ese sentido, es importante conocer y desarrollar
diferentes técnicas, estrategias y metodologías que permitan mejorar el
desarrollo del pensamiento matemático. A continuación, se describen los
diferentes aportes encontrados en la revisión.
Técnicas, estrategias y
metodologías que permiten desarrollar el pensamiento matemático
Pensamiento
numérico
Según Díaz y Díaz (2018)
para trabajar el pensamiento numérico, el camino más adecuado es utilizar
programas heurísticos, tomando como estrategia el trabajo hacia adelante y el
trabajo hacia atrás. El trabajo hacia adelante consiste en partir de los datos y
a través de inferencias y deducciones llegar a la solución; mientras que en el
trabajo hacia atrás se realiza el análisis del problema a partir de lo que se
busca, para identificar relaciones entre las exigencias del problema y la
información, desarrollando una actividad mental intensa
Cortés et al. (2016) El
modelo propuesto consiste en la construcción de un plano cognitivamente
vinculado al PA-A (pensamiento aritmético – algebraico) y ETM (espacios de
trabajo matemático) que tenga una amplia intersección entre el pensamiento
aritmético y el razonamiento algebraico. El cual se desarrolla realizando: I)
La articulación entre representaciones y producciones: reconocimiento de un
padrón, visualización asociada con un algoritmo de cálculo y un proceso aritmético
- geométrico y visualización de un algoritmo general aritmético - algebraico;
II) estructura de control cognitivo: la actividad debe ser presentada de manera
que las conjeturas de los estudiantes puedan ser corroboradas, y la aritmética
y representaciones figurales como una fuente de
retroalimentación permanente.
Pensamiento
espacial y geométrico
Troncoso (2018) propone
trabajar el pensamiento geométrico espacial en su etapa inicial con la
estrategia de dibujar mandalas, ya que de esta manera
el estudiante empezará a familiarizarse con conceptos como centro geométrico,
circunferencia y parábola, de igual forma con la construcción de dibujos
geométricos circulares tomando como referencia imágenes u objetos de su
contexto.
En niveles superiores
Rojas et al. (2019) propone como técnica el principio heurístico de la
visualización, las cuales se componen de los siguientes procesos: Objetivación
de figuras geométricas; manipulación geométrica, descomposición e integración y
representación analítica. El desarrollo del pensamiento geométrico espacial
está ligado a una correcta percepción de objetos, una adecuada atención y el
constante ejercicio de la memoria. Esto sumado a un adecuado nivel de
abstracción que desemboca con pensar y expresarse con imágenes lo cual
desarrolla de forma paralela el pensamiento visual del individuo.
Pensamiento
métrico
Escorcia et al. (2013) establece
que para lograr un adecuado desarrollo del pensamiento métrico se debe estar
constantemente actualizado, ya que progresivamente las formas e instrumentos de
medición han ido evolucionando a fin de optimizar el tiempo requerido para el
proceso como para aumentar la precisión de dichas mediciones. Por ello, plantea
la estrategia de desarrollar talleres por medio de la aplicación de nuevas
tecnologías para ello se apoya en la utilización de calculadoras graficadoras y de los softwares
matemáticos como son: Cabri geometry,
Derive, etc.
Saza et al. (2020) plantea la estrategia del Modelo Alostérico
de Aprendizaje, que postula que la estructura mental del estudiante cambia de
acuerdo al contexto según la asimilación de los aprendizajes, siendo el estilo
de aprendizaje activo el más descollante y siendo la estrategia de las Redes
Asociativas Pathfinder (RAP) la que mejores
resultados ha dado, ya que permite mediante un test determinar el valor que
cada estudiante asigna a los diferentes conceptos del pensamiento métrico y sus
relaciones.
Pensamiento
aleatorio
Torres (2019) plantea la
estrategia de utilizar videos sobre el fútbol y otros deportes para desarrollar
el pensamiento aleatorio, con esta información se pueden trabajar temas sobre
variables estadísticas, tablas de frecuencias para datos agrupados y no
agrupados, gráficos estadísticos, medidas de tendencia central, medidas de
dispersión y proyecciones a partir de ello, a la vez permiten relacionar los
juegos y deportes con las apuestas y el azar con lo que afianzan sus
conocimientos estadísticas y desarrollan el cálculo de probabilidades con toma
de decisiones, despertando de esta forma el interés y acercándose a contextos
lúdicos y competitivos.
Ramírez et al. (2018)
sustenta la importancia de las estrategias didácticas para el desarrollo del pensamiento
aleatorio para lo cual se resalta la importancia de contar con las tecnologías
adecuadas, ya que focaliza la atención de los estudiantes y despierta su
interés en los temas a tratar. En su estudio plantea la estrategia de utilizar softwares o aplicaciones informáticas, de forma específica
el software Geogebra con el que se demostró un mayor
progreso en los temas de medidas de tendencia central, medidas de dispersión,
entre otros.
Pensamiento
Variacional
Martínez-López y Gualdrón-Pinto (2018) en su estudio Fortalecimiento del
pensamiento variacional a través de una intervención
mediada con TIC en estudiantes de grado noveno, arribaron a la conclusión
que los estudiantes del nivel secundario muestran ausencia o deficiencia en el
uso del pensamiento variacional y que se requieren
estrategias distintas e innovadoras para generar el hábito de pensar de forma variacional, algebraica y analítica. A la vez en el estudio
se confirmó que una estrategia válida es el uso de herramientas Tics favorece
una mejor comprensión en el desarrollo de este pilar, por lo que es necesario
que los docentes de ciencias fortalezcan sus conocimientos informáticos y
digitales para lograr una enseñanza más contundente de los contenidos que se
requieren para fortalecer este pensamiento.
Alarcón, et al. (2019)
sostiene que para desarrollar el pensamiento variacional
se debe diseñar una serie de acciones organizadas en fases y procedimientos,
las cuales pueden ser plasmadas en instrumentos y guías de trabajo para el
estudiante. Por ello, propone la estrategia de utilizar y construir material
concreto manipulativo, como tablas, figuras, estructuras de bloques para por
ejemplo demostrar de forma concreta los productos notables. También aborda la
importancia de la socialización para que los estudiantes puedan identificar sus
fortalezas y debilidades a fin de brindar un buen soporte emocional y de
acompañamiento permitiendo la participación activa del estudiante, base para
una correcta evaluación formativa, que en el caso de este estudio tiene una
relación directamente proporcional al desarrollo del pensamiento variacional
Ordóñez et al. (2019) afirma que una de las principales
debilidades de los estudiantes radica en que están acostumbrados a manejar
aritméticamente problemas de áreas y volúmenes lo cual manifiesta el poco
afianzamiento de los mismos por expresar cálculos de forma algebraica, por ello
el autor plantea 2 estrategias para contrarrestar esta problemática. La primera
consiste en aplicar baldosas matemáticas que son bloques o estructuras
didácticas en forma de rompecabezas rectangulares o cuadradas que permiten representar
expresiones algebraicas que al unirse pueden dar lugar a otras, este material
es de gran apoyo ya que le permite al estudiante y al maestro interactuar con
material concreto y en grupos de trabajo. La segunda estrategia permite al
estudiante modelar geométricamente expresiones algebraicas mediante
manipuladores virtuales, estos dispositivos contienen software que permiten
mostrar al estudiante la solución de ecuaciones, inecuaciones, polinomio y
otros no solo de forma algebraica sino también de forma gráfica geométrica.
Tabla 2. Técnicas,
estrategias y metodologías identificadas en la revisión bibliográfica.
|
Pilares del
pensamiento matemático
|
Técnicas, estrategias y metodologías
|
Autor / año
|
|
Pensamiento numérico
|
Estrategias heurísticas de trabajo hacia
adelante y hacia
atrás.
|
Díaz y Díaz (2018)
|
|
|
Estrategia denominada ACODESA; Espacios de Trabajo Matemático; Pensamiento aritmético-algebraico.
|
Cortés et al. (2016)
|
|
Pensamiento
espacial y geométrico
|
Dibujar mandalas como estrategia.
|
Troncoso (2018)
|
|
|
Usar el principio heurístico de la visualización como técnica
|
Rojas et al. (2019)
|
|
Pensamiento métrico
|
Desarrollar talleres por medio de la aplicación de nuevas tecnologías como estrategia.
|
Escorcia et al. (2013)
|
|
|
Usar el Modelo Alostérico de Aprendizaje como
estratégica.
|
Saza et al. (2020)
|
|
Pensamiento aleatorio
|
Usar videos de deportes
como estrategia.
|
Torres (2019).
|
|
|
Utilizar softwares o aplicaciones informáticas como estrategia.
|
Ramírez et al. (2018)
|
|
Pensamiento variacional
|
Utilizar y construir material concreto manipulativo como
estrategia.
|
Alarcón, et al.
(2019)
|
|
|
Uso de herramientas Tics
|
Martínez, et al (2018)
|
|
|
Usar baldosas matemáticas y manipuladores virtuales como estrategias.
|
Ordóñez et al.
(2019)
|
Luego de la revisión
sistemática y el análisis bibliográfico se concluye que el pensamiento
matemático es un proceso complejo debido a que su formación y desarrollo (ya
sea en el estudiante o en el docente de ciencia) implica ejecutar dos conjuntos
de procesos paralelos. Por un lado, la formación del pensamiento propiamente
matemático y por otro, el uso de otros procesos intelectuales como el
pensamiento analítico, la síntesis, el pensamiento creativo, etc.
Por medio de la revisión
sistemática se ha observado que las estrategias más adecuadas para desarrollar
el pensamiento numérico están dadas en base a la aplicación de estrategias
heurísticas como la construcción de mapas y planos, ya que este pensamiento
optimiza sus resultados al trabajar de forma asociativa con el pensamiento
geométrico y variacional.
Se ha determinado que el
segundo pilar denominado pensamiento geométrico sustenta al pensamiento
matemático, ya que desarrolla procesos mentales superiores como la
objetivación, la manipulación, descomposición, integración y representación. A
la vez contribuye a la formación del docente en ciencias al brindarle la
capacidad de implementar estrategias que contribuyan a su práctica docente como
es el uso de representaciones por medio del dibujo en mandalas
para una fase inicial de aprendizaje.
Se ha identificado 2 grandes razones por las que el tercer
pilar: pensamiento métrico debe ser impulsado dentro del desarrollo matemático:
la primera es garantizar en el estudiante altos niveles de precisión y el
manejo de diversas escalas y unidades de medidas, pero también creatividad para
una correcta optimización del tiempo. La segunda, obedece al hecho de alcanzar
un ágil manejo de las tecnologías y equipos diseñados para ese objetivo. Siendo
en ambos casos necesario que el docente de ciencias esté preparado no solo para
usar los equipos o las escalas, sino para desarrollar estrategias como el
Modelo Alostérico de Aprendizaje que permitan un
mejor entendimiento del problema y la solución adecuada a la misma.
Por medio de la revisión
sistemática se ha establecido el beneficio de trabajar el cuarto pilar:
pensamiento aleatorio como soporte para la formación del docente en ciencias,
ya que permite al docente de ciencias desarrollar en su estudiante otros procesos
mentales como la deducción, la inferencia y la interpretación de datos. Se ha
encontrado que las mejores estrategias para el desarrollo de este pilar es
acercarlo a contextos deportivos y tecnológicos que son las temáticas que mayor
interés generan en la sociedad.
El quinto pilar
denominado pensamiento variacional es el que más
dificultades ha presentado en los estudiantes, por lo que de acuerdo a los
estudios es necesario desarrollarlo de forma complementaria con el pensamiento
aritmético y geométrico. Este tipo de pensamiento repercute de forma positiva
en la formación del docente de ciencias, ya que propone para el desarrollo de
su labor pedagógica el uso de material concreto-manipulativo, lo cual le
permite establecer relaciones entre la representación algebraica y la
esquematización de la misma. El uso de software educativo y herramientas
tecnológicas también coadyuvan a demostrar numérica y gráficamente lo que está
expresado de forma algebraica.
CONCLUSIONES
Primero, desarrollar el
pensamiento matemático resulta de gran importancia, no solo para el avance en
las ciencias sino también en la vida cotidiana; a menudo contamos, estimamos,
creamos, analizamos, cuestionamos, suponemos; siempre se está pensando en o
hacia algo, o por curiosidad, somos seres pensantes y curiosos. Este tipo de
pensamiento implica un alto nivel de integración de procesos cognitivos y
creativos que deben ser tomados en cuenta en la planificación del proceso de
enseñanza-aprendizaje y en la formación del docente de ciencias; ya que un
abordaje adecuado de su proceso va a permitir al docente desarrollar y
movilizar estrategias activas e innovadoras para lograr un aprendizaje
significativo.
Segundo, el pensamiento
matemático es un macro proceso además de complejo, su desarrollo requiere de
comprender y abordar sus cinco componentes o pilares: el primer pilar
relacionado al pensamiento numérico, que involucra procesos aritméticos. El
segundo pilar es el pensamiento geométrico, caracterizado por procesos
asociados a la competencia de movimiento, localización y forma. El tercer pilar
es el pensamiento métrico referido a las mediciones e instrumentos de medición
de baja y alta escala. El cuarto pilar es el pensamiento aleatorio que
involucra a la competencia de gestión de datos e incertidumbre y el quinto
pilar es el pensamiento variacional que trabaja con
contenidos algebraicos relacionados con la competencia de equivalencia, orden y
regularidad.
Por último, para lograr
desarrollar el pensamiento matemático se requiere del uso de técnicas,
estrategias o métodos integradores. Es decir, el docente a partir de la
comprensión del pensamiento matemático, los cinco pilares, debe proponer
técnicas y estrategias metodológicas que involucren dos o más componentes del
pensamiento matemático.
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